Angewandte Mathematik. Integrale und Geometrie in Rn by Kenneth Eriksson, Donald Estep, Claes Johnson, J. Schüle

By Kenneth Eriksson, Donald Estep, Claes Johnson, J. Schüle

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Damit diese Diskussion Sinn macht, ist es nat¨ urlich, davon auszugehen, dass f (x) ≥ 0. 12 Geometrische Interpretation des Integrals 473 y y = f (x) 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 − 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 u(x) 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000x¯ 111111111111111111111111111111 x Abb.

Das Integral y = f (x) Fl¨ ache j i=1 f (xn i−1 ) hn x xn 0 xn 1 xn 2 Abb. 8. Fl¨ ache f (x) j i=1 n xn i−1 xi xn j f (xn ormigen N¨ aherung an i−1 ) hn unter einer treppenf¨ als Fl¨ ache einer Ansammlung von Rechtecken betrachten, die eine treppenf¨ ormige N¨ aherung an f (x) bilden, wie in Abb. 8 dargestellt. Diese Summe wird auch Riemannsche Summe genannt. Intuitiv glauben wir, dass die Fl¨ ache unter der treppenf¨ormigen N¨aherung U n (¯ x) an f (x) auf [a, x ¯] die Fl¨ ache unter dem Graphen von f (x) auf [a, x ¯] ann¨ ahert, wenn n gegen Unendlich strebt und somit hn = 2−n (b − a) gegen Null strebt.

Wir wiederholen aus den vorherigen Abschnitten, dass j U n (xnj ) = f (xni−1 )hn , i=1 mit xnj = x ¯. Nun k¨ onnen wir f (xni−1 )hn als die Fl¨ache eines Rechtecks mit Grundseite hn und H¨ ohe f (xni−1 ) betrachten, vgl. Abb. 7. Somit k¨ onnen wir die Summe j f (xni−1 )hn i=1 y = f (x) Fl¨ ache f (xn i−1 ) hn x xn 0 xn 1 xn 2 n xn i−1 xi xn j Abb. 7. Fl¨ ache f (xn i−1 ) hn eines Rechtecks 474 27. Das Integral y = f (x) Fl¨ ache j i=1 f (xn i−1 ) hn x xn 0 xn 1 xn 2 Abb. 8. Fl¨ ache f (x) j i=1 n xn i−1 xi xn j f (xn ormigen N¨ aherung an i−1 ) hn unter einer treppenf¨ als Fl¨ ache einer Ansammlung von Rechtecken betrachten, die eine treppenf¨ ormige N¨ aherung an f (x) bilden, wie in Abb.

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