Affine Ebenen: eine konstruktive Algebraisierung by Artur Bergmann, Erich Baumgartner

By Artur Bergmann, Erich Baumgartner

Zu jeder affinen Inzidenzebene, in welcher der große Satz von Desargues gilt (kurz: (D)-Ebene), wird mit Hilfe von Translationen und Streckungen ein zweidimensionaler Vektorraum über einem Schiefkörper hergeleitet. Anders als in der bisherigen Literatur werden diese Abbildungen nicht axiomatisch, sondern konstruktiv eingeführt. Dieser Weg ist anschaulich und verdeutlicht den geometrischen Hintergrund der algebraischen Strukturen. Außerdem sichert er von Anfang an die Existenz hinreichend vieler solcher Abbildungen. Die Autoren weisen u.a. nach: • Die Isomorphieklassen von (D)-Ebenen und die Isomorphieklassen algebraisch affiner Ebenen entsprechen sich bijektiv. • Bei der Hilbertschen Streckenrechnung führen unterschiedliche Konstruktionsdaten zu isomorphen Schiefkörpern. • Translationen, Streckungen und axiale Kollineationen sind drei affine Spezialfälle derselben projektiven scenario. Inhalt und gewählte Vorgehensweise machen die mathematischen Grundlagen der analytischen Geometrie, wie sie bereits in der Oberstufe des Gymnasiums unterrichtet wird, klar. Aufgrund der ausführlichen und durch viele Abbildungen veranschaulichten Beweise ist dieses Buch auch bestens zum Selbststudium geeignet.

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3) Stimmen zwei Parallelverschiebungen an einer Stelle u ¨berein, so sind sie gleich. Beweis : Zu zeigen ist, dass f¨ ur alle Punkte P, Q, R, S gilt: Existiert ein Punkt X mit τP Q (X) = τRS (X) , so ist τP Q = τRS . Wir setzen Y := τP Q (X) = τRS (X) . Nach der Definition von Parallelverschiebungen sind damit (P, Q, X, Y ) und (R, S, X, Y ) Parallelogramme. 2 ist dann auch (P, Q, R, S) ein Parallelogramm. Nach (2) ist somit τP Q = τRS . ✷ (4) Jede Parallelverschiebung τ ist durch ihre Wirkung auf einen einzigen Punkt vollst¨ andig bestimmt : Ist τ (A) = B , so ist τ = τAB .

4 Der große und der kleine Scherensatz (S) Der große Scherensatz : Sind bei zwei Vierecken, deren Ecken abwechselnd auf zwei voneinander verschiedenen Geraden liegen und keine auf beiden gleichzeitig, drei Paare entsprechender Seiten parallel, so ist auch das vierte Paar entsprechender Seiten parallel. Mit anderen Worten (man vergleiche Figur 6): Es seien P1 , P2 , P3 , P4 , Q1 , Q2 , Q3 , Q4 acht paarweise voneinander verschiedene Punkte und g, h zwei voneinander verschiedene Geraden und es gelte (1) (a) P1 , P3 , Q1 , Q3 g , (c) P2 , P4 , Q2 , Q4 h , (2) (a) g(P1 , P2 ) g(Q1 , Q2 ) , (c) g(P3 , P4 ) g(Q3 , Q4 ) .

3 Eigenschaften von Parallelogrammen 33 Satz 1 : In jeder (d)-Ebene3 gilt : Ist unter den Vierecken (P, Q, R, S), (Q, P, S, R), (R, S, P, Q), (S, R, Q, P ), (P, R, Q, S), (R, P, S, Q), (Q, S, P, R), (S, Q, R, P ) ein Parallelogramm, dann sind alle acht Vierecke Parallelogramme. Genauer gilt: Ist eines der acht Vierecke ein eigentliches Parallelogramm, so sind alle acht Vierecke eigentliche Parallelogramme; ist eines ein uneigentliches Parallelogramm, so sind die u ¨brigen Parallelogramme uneigentlich oder ausgeartet.

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