Abschätzungen für Differentialoperatoren im Halbraum by I. W. Gelman, W. G. Mazja (auth.)

By I. W. Gelman, W. G. Mazja (auth.)

Ungleichungen für Differentialoperatoren spielen eine fundamentale Rolle in der modernen Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Unter den zahlreichen An­ wendungen solcher Ungleichungen, die bei vielen Fragestellungen auftreten und sich durch die Auswahl der Differentialoperatoren und der Randbedingungen, die Anfor­ derungen an den Rand des Gebietes und durch die Normen der jeweils betrachteten Funktionenräume unterscheiden, findet guy Existenz- und Eindeutigkeitssätze, Fehlerabschätzungen bei der numerischen Approximation von Lösungen und der Restglieder in asymptotischen Formeln sowie Ergebnisse über die Struktur des Spek­ trums. Für allgemeine Differentialoperatoren mit konstanten Koeffizienten, die in diesem Buch behandelt werden, sind Abschätzungen im L für Funktionen mit kompaktem 2 Träger im betrachteten Gebiet (HÖBMANDEB [22]) in erschöpfender Weise studiert worden. was once aber Abschätzungen bis zum Rand des Gebietes betrifft, so ist dazu noch überaus wenig bekannt. Solche Abschätzungen enthalten die Arbeiten von ABONS- ZAJN[3], AGMON[1] (Koerzivität von Differentialoperatoren und Integro-Differenti- operatoren), SCHECHTEB [43], [44], [45] (hinreichende Bedingungen für die Dominanz im Halbraum) und einige andere Untersuchungen, über die in den Literaturhinweisen zu jedem Kapitel mehr gesagt wird. Gegenstand des vorliegenden Buches sind Abschätzungen für Differentialopera­ toren mit konstanten Koeffizienten im Halbraum. Es werden keinerlei A-priori-Einschränkungen bezüglich des Typs der betrachteten Differentialoperatoren gemacht.

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Das Skalarprodukt sei durch lt 2 oo m [g> M = E m 1 f 9k{r) h {r) dt, g,hzX k k = 0 -oo , definiert. 52) auftretenden Vektorfunktionen g = F _ f liegen offenbar in X dicht. Weiter betrachten wir die Vektorfunktionen ajt) = (a (t), ... , a (t)) und b (t) = t al xm >r x = (b {t), ... , b (t)) € X ( a = 1, ... , #)> wobei wir a = T _(t)l3_(r) und 6 ( T ) = = G (t)/3> (t) (a = 1, ... , 2V; 4 = 1, ... , m) setzen. Dabei sind T _ ( T ) und G„(T) die Elemente der (N X m)-Matrix T_ bzw. der (1 X iV)-Matrix G(t).

2. Wenn für fast alle f e # ? 12) für alle u e C™(R ). 1' von selbst erfüllt. 2 folgt. 2. Es sei N 5; 1. Für die Gültigkeit der Ungleichung \\R(D)u\\% ^C \\P(D)u\\? 1 erfüllt sind. 3. 1 eingeht, zusammengestellt werden. 54 1 . 1 folgt. 10). 1) deuten. (*;*) + ^{x; t)\\* ^ j|«,(a;; 0)| da; % ^u {x;t) k dt 2 Rn-1 9 3 und A = — - -f- ... + — « — bedeuten, nicht für alle dxf 9<_! u = (%, u ) eC£°(iZ"). 1. 1 aus den Bedingungen 1 bis 3 folgt oder im Gegenteil nicht abgeleitet werden kann, wollen wir im nächsten Satz formulieren.

Y> ) ein, ) deren Komponenten folgendermaßen definiert werden: + k für ip = 0 jk lk j 4= k , Whk = (ü) exp (iC f) y (fc = fl 1 mk yi kk für = 0 für «< 0 , t ^ 0 1 , . . , m; q = 1 , . . , l; y = 0 , ... ,k — g l). 44) gelten, wobei 2 ^ * die gyfc-ten Spalten der Matrix ( 1 . 2 4 ) sind. Aus den Identitäten ( 1 . 3 ) ergeben sich und „,=0 ri (ff - 0 - y i ) l ! _/ ) Die R e c h t f e r t i g u n g für diesen S c h r i t t folgt aus d e r B e m e r k u n g 1 . 5 . 36 1. *= ß = ,t' E -. 42). 41).

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